Paradoxo do divórcio

Em matemática, o paradoxo do divórcio surge do fato de a reta real poder ser decomposta em dois conjuntos, sendo um de medida zero e o outro magro.

O paradoxo surge justamente do fato de que ambos os conceitos estão relacionados à ideia de subconjuntos desprezíveis na reta.

Um exemplo

Seja {\displaystyle \{r_{j}\}_{j=1}^{\infty }\,} uma enumeração dos racionais e defina os conjuntos:

{\displaystyle V_{n}=\bigcup _{j=1}^{\infty }\left(r_{j}-{\frac {2^{-j}}{n}},r_{j}+{\frac {2^{-j}}{n}}\right)\,}

Os conjuntos {\displaystyle V_{n}\,} são abertos pois são uma união de intervalos abertos. São portanto mensuráveis à Lebesgue e sua medida é:

{\displaystyle \mu (V_{n})\leq \sum _{j=1}^{\infty }2{\frac {2^{-j}}{n}}={\frac {2}{n}}\,}

Defina, agora:

{\displaystyle Z=\bigcap _{n=1}^{\infty }V_{n}\,}

Como {\displaystyle Z\subseteq V_{n},~~\forall n\,}, vale que {\displaystyle \mu (Z)\leq {\frac {2}{n}},~~\forall n\,} e, portanto:

{\displaystyle \mu (Z)=0\,}

Agora consideremos o complementar de {\displaystyle Z\,}:

{\displaystyle P:=Z^{c}=\bigcup _{n=1}^{\infty }V_{n}^{c}\,}

Cada {\displaystyle V_{n}^{c}\,} é um conjunto fechado com interior vazio, pois não contém nenhum racional. O conjunto {\displaystyle P\,} é, portanto, magro.

Temos o exemplo que queríamos:

{\displaystyle \mathbb {R} =P\cup Z\,}

Números de Liouville

O conjunto de todos os números de Liouville forma um exemplo mais natural de conjunto de medida zero cujo complementar é um conjunto magro.

Categoria:

• Análise real